La temperatura según la TCM

Vamos a partir de la ecuación que hemos obtenido para la presión:

$$P = \frac{2}{3}\Bigl(\frac{N}{V}\Bigr)\Bigl(\frac{1}{2} m\bar{v^2}\Bigr)$$

Es posible comprender mejor el significado de la temperatura si escribimos la ecuación anterior como:

$$P V = \frac{2}{3} N \Bigl(\frac{1}{2} m\bar{v^2}\Bigr)$$

Comparándola con la ecuación de estado de un gas ideal:

$$PV = Nk_B T$$

De aquí encontramos que

$$T = \frac{2}{3 k_B}\Bigl(\frac{1}{2} m\bar{v^2}\Bigr)$$

Podemos despejar la energía cinética molecular como:

$$\frac{1}{2} m\bar{v^2} =\frac{3}{2} k_B T$$

Puesto que $\bar{v^2_x}=\frac{1}{3}\bar{v^2}$, se concluye que

$$\frac{1}{2} m\bar{v^2_x} =\frac{1}{2} k_B T$$

El siguiente teorema, llamado el teorema de la equipartición de la energía, establece que:
 
La energía de un sistema en equilibrio térmico se divide por igual entre todos los grados de libertad.

La energía cinética traslacional de N moléculas es simplemente N veces la energía promedio por molécula, entonces:

$$E_c = N\Bigl(\frac{1}{2} m\bar{v^2}\Bigr) = \frac{3}{2} k_B T= \frac{3}{2} nRT$$

Puesto que $\sqrt{\bar{v^2}}$ se conoce como velocidad cuadrática media de las moléculas (rms, por sus siglas en inglés). Para la velocidad rms tenemos:

$$v_{rms}= \sqrt{\bar{v^2}}= \sqrt{\frac{3k_BT}{m} }= \sqrt{\frac{3RT}{M} }$$

Como ejemplo, puedes ver los valores de la velocidad cuadrática media para algunos gases:

GasMasa molar (g/mol)vrms a 20ºC (m/s)
H22.021902
He41352
H2O18637
Ne20.1603
N2 28511
NO30494
CO244408
SO264338