La presión según la TCM

El simulador de arriba cuenta el número de choques contra una de las paredes del cubo y el tiempo transcurrido. La cantidad de choques por segundo, o frecuencia, se va calculando dividiendo la cantidad de choques entre el tiempo transcurrido.

En cada choque se aplicará una fuerza sobre la pared que dependerá de la masa y de la velocidad de la molécula y la relación entre esta fuerza y la superficie de la pared nos daría la presión. La presión está relacionada con la frecuencia de estos choques ya que de ella dependerá la cantidad total de fuerza que se aplique sobre las paredes en cada unidad de tiempo.

Vamos a ver cómo podemos calcular la presión:

Supongamos una molécula encerrada en un cubo de arista d, cuya velocidad es:

$$v = v_x + v_y + v_z$$

Para facilitar los cálculos vamos a comenzar considerando lo que sucede en la dirección X y luego ampliaremos a las tres direcciones.

 

Cuando la molécula choca contra la pared, su cantidad de movimiento $p$ sufre una variación de

$\Delta p_x = - m v_x -(m v_x) = - 2 \:m v_x$

Como la cantidad de movimiento se conserva, a la pared se habrá transferido:

$\Delta p = 2 \:m v_x$

y como $\Delta p = F \Delta t$, podemos calcular la fuerza que la molécula ha ejercido sobre la pared:

$F_1 \Delta t = 2 \:m v_x$

Una vez producido el choque, irá a la pared de enfrente, chocará y volverá (suponiendo que por el camino no se encuentre con otra). El tiempo empleado en el camino de ida y vuelta lo podemos expresar como

$$\Delta t = \frac{2d}{v_x}$$

por lo que podemos expresar la fuerza ejercida sobre la pared así:

$$F_1 = \frac{2mv_x}{\Delta t} = \frac{2mv_x}{\frac{2d}{v_x}} = \frac{m{v^2_x}}{d}$$

Para un conjunto de N moléculas, la fuerza total producida sobre la misma pared es:

$$F=\frac{m}{d} ({v^2_{x1}} + {v^2_{x2}} + \dotsb + {v^2_{xN}})$$

El valor promedio de la velocidad para N moléculas, en la dirección X, es:

$$\bar{v^2_x} = \frac{{v^2_{x1}} + {v^2_{x2}} + \dotsb + {v^2_{xN}}}{N}$$

Así pues, la fuerza total sobre la pared podemos escribirla 

$$F = \frac{Nm}{d} \bar{v^2_x}$$

El teorema de Pitágoras relaciona el cuadrado de la velocidad con el cuadrado de sus componentes:

$$v^2 = v^2_x + v^2_y + v^2_z$$

En consecuencia, el valor promedio de v2 es:

$$\bar{v^2} = \bar{v^2_x}+ \bar{v^2_y} + \bar{v^2_z}$$

Dado que el movimiento es aleatorio, los valores promedio de las componentes de la velocidad son iguales entre sí. Entonces, encontramos que:

$$\bar{v^2} = 3 \bar{v^2_x}$$

Así, la fuerza sobre la pared es:

$$F = \frac{N}{3} \Bigl(\frac{m \bar{v^2}}{d}\Bigr)$$

Y si dividimos la fuerza entre la superficie de la pared, tendremos la presión:

$$P = \frac{F}{S} =\frac{F}{d^2} = \frac{1}{3}\Bigl(\frac{N}{d^3} m \bar{v^2} \Bigr) = \frac{1}{3}\Bigl(\frac{N}{V}\Bigr) m \bar{v^2} $$

Multiplicamos y dividimos por 2 el segundo miembro:

$$P = \frac{2}{3}\Bigl(\frac{N}{V}\Bigr)\Bigl(\frac{1}{2} m\bar{v^2}\Bigr)$$

Este resultado muestra que la presión es proporcional al número de moléculas por unidad de volumen y a la energía cinética traslacional promedio de la molécula, $\frac{1}{2} m\bar{v^2}$

Volvamos de nuevo al simulador. Si te fijas, la frecuencia de los choques no es siempre igual porque tenemos sólo unas pocas moléculas. Si en lugar de 6 hubiera varios miles de millones encontraríamos que la frecuencia es un valor constante, pero no podemos hacerlo porque la informática también tiene sus limitaciones.

Debido a que en un gas el número de moléculas es del orden de 1023, la cantidad de movimiento transferida a la pared es constante y uniforme en todos los puntos en situación de equilibrio térmico. En otras palabras, la presión en un gas es la misma en todos los puntos del recipiente cuando existe equilibrio térmico.

 

 


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