El simulador representa dos péndulos unidos entre sí mediante un muelle.
El primer péndulo tiene masa $m_1$ y el segundo tiene masa $m_2$.
Ambos tienen longitud $L$. El muelle tiene constante elástica $k$,
medida en $\mathrm{N/m}$.
Llamaremos $x_1$ y $x_2$ a las desviaciones horizontales de las masas
respecto de sus posiciones de equilibrio. Para pequeñas oscilaciones,
estas desviaciones son pequeñas comparadas con la longitud del péndulo,
y podemos aproximar el movimiento mediante ecuaciones lineales.
Aproximación utilizada: para ángulos pequeños se cumple aproximadamente
$$\sin\theta \simeq \theta$$
y, como $x \simeq L\theta$, la fuerza restauradora del peso puede escribirse
en función de la desviación horizontal como
$$F_g \simeq -mg\frac{x}{L}$$
En cada péndulo se usa su propia masa: $m_1$ para el primero y $m_2$ para el segundo.
1. Ecuaciones del movimiento
Sobre cada masa actúan dos efectos principales:
- La fuerza restauradora del peso, que tiende a devolver el péndulo a la vertical.
- La fuerza del muelle, que depende de la diferencia entre las posiciones de las dos masas.
Para la primera masa, la ecuación del movimiento es:
$$m_1\ddot{x}_1 = -m_1g\frac{x_1}{L} + k(x_2 - x_1)$$
Para la segunda masa:
$$m_2\ddot{x}_2 = -m_2g\frac{x_2}{L} - k(x_2 - x_1)$$
Dividiendo cada ecuación entre su masa correspondiente, obtenemos:
$$\ddot{x}_1 = -\frac{g}{L}x_1 + \frac{k}{m_1}(x_2 - x_1)$$
$$\ddot{x}_2 = -\frac{g}{L}x_2 - \frac{k}{m_2}(x_2 - x_1)$$
El término $k(x_2-x_1)$ representa la fuerza del muelle.
Si las masas están separadas más de lo que corresponde al equilibrio,
el muelle tira de ellas para acercarlas; si están más cerca,
las empuja para separarlas.
Al introducir masas distintas, el muelle produce aceleraciones diferentes
en cada péndulo. La misma fuerza elástica provoca una aceleración mayor
en la masa menor y una aceleración menor en la masa mayor.
Cuando las masas son iguales, resulta natural usar las variables $x_1+x_2$ y $x_2-x_1$. Sin embargo, si las masas son distintas, conviene usar una coordenada asociada al movimiento conjunto del sistema:
$$X = \frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}$$
Esta coordenada representa el desplazamiento horizontal medio ponderado por las masas. También usamos la coordenada relativa:
$$Y = x_2 - x_1$$
La variable $X$ describe el movimiento global de los dos péndulos, mientras que la variable $Y$ describe cuánto se separan o se acercan entre sí. Estas dos variables permiten separar el movimiento en dos modos normales.
3. Primer modo normal: movimiento en fase
Si multiplicamos las ecuaciones por sus masas y las sumamos, los términos debidos al muelle se cancelan:
$$m_1\ddot{x}_1 + m_2\ddot{x}_2 =
-m_1g\frac{x_1}{L} - m_2g\frac{x_2}{L}$$
Usando
$$X = \frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}$$
resulta:
$$\ddot{X} + \frac{g}{L}X = 0$$
Esta es la ecuación de un movimiento armónico simple. Su solución puede escribirse como:
$$X = C_1 \operatorname{sen}(\omega_1 t + \phi_1)$$
donde la frecuencia angular del primer modo es:
$$\omega_1 = \sqrt{\frac{g}{L}}$$
Interpretación física: este modo corresponde a los dos péndulos
moviéndose en fase. Es decir, ambos se desplazan hacia el mismo lado al mismo tiempo.
En este caso $x_1=x_2$, por lo que el muelle no se estira ni se comprime.
Por eso la frecuencia no depende de $k$, ni tampoco de $m_1$ o $m_2$.
4. Segundo modo normal: movimiento relativo
Para estudiar el segundo modo usamos la variable relativa:
$$Y = x_2 - x_1$$
Restando las aceleraciones de las dos masas se obtiene:
$$\ddot{Y} + \left(\frac{g}{L}+k\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)\right)Y = 0$$
Esta también es la ecuación de un movimiento armónico simple. Su solución es:
$$Y = C_2 \operatorname{sen}(\omega_2 t + \phi_2)$$
donde la frecuencia angular del segundo modo es:
$$\omega_2 =
\sqrt{\frac{g}{L}+k\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)}$$
Como $k$ se mide en $\mathrm{N/m}$, el cociente $k/m$ tiene unidades de
$\mathrm{s^{-2}}$:
$$\frac{k}{m} = \frac{\mathrm{N/m}}{\mathrm{kg}}
= \frac{\mathrm{kg\,m/s^2}}{\mathrm{m\,kg}}
= \mathrm{s^{-2}}$$
Por tanto, tanto $\frac{k}{m_1}$ como $\frac{k}{m_2}$ tienen unidades de
$\mathrm{s^{-2}}$, y la expresión de $\omega_2$ tiene unidades correctas
de frecuencia angular.
Interpretación física: este modo corresponde al movimiento relativo
de las dos masas. El muelle se estira y se comprime, por lo que aparece una fuerza
restauradora adicional. Si una de las masas es menor, responde más intensamente
a la fuerza del muelle.
5. Forma del segundo modo cuando las masas son distintas
Cuando $m_1=m_2$, el segundo modo corresponde a un movimiento perfectamente
en oposición de fase: una masa se desplaza hacia la derecha y la otra la misma
distancia hacia la izquierda.
Si las masas son distintas, el segundo modo sigue siendo un movimiento relativo,
pero las amplitudes no son iguales. Para que el movimiento conjunto $X$ sea nulo,
debe cumplirse:
$$m_1x_1 + m_2x_2 = 0$$
Por tanto:
$$\frac{x_2}{x_1} = -\frac{m_1}{m_2}$$
Esto significa que la masa menor oscila con mayor amplitud y la masa mayor
oscila con menor amplitud.
Ejemplo: si $m_2$ es mayor que $m_1$, la segunda masa tiene más inercia
y se mueve menos. La primera masa, al ser más ligera, presenta una oscilación
relativa de mayor amplitud.
6. Movimiento de cada masa
Las variables $X$ e $Y$ nos permiten reconstruir las posiciones originales
$x_1$ y $x_2$.
Partimos de:
$$X = \frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}$$
$$Y = x_2 - x_1$$
Despejando $x_1$ y $x_2$, se obtiene:
$$x_1 = X - \frac{m_2}{m_1+m_2}Y$$
$$x_2 = X + \frac{m_1}{m_1+m_2}Y$$
Sustituyendo las soluciones de $X$ y $Y$, obtenemos:
$$x_1 =
A_1 \operatorname{sen}(\omega_1 t + \phi_1)
- \frac{m_2}{m_1+m_2}
A_2 \operatorname{sen}(\omega_2 t + \phi_2)$$
$$x_2 =
A_1 \operatorname{sen}(\omega_1 t + \phi_1)
+ \frac{m_1}{m_1+m_2}
A_2 \operatorname{sen}(\omega_2 t + \phi_2)$$
Las constantes $A_1$, $A_2$, $\phi_1$ y $\phi_2$ dependen de las condiciones
iniciales, es decir, de las posiciones y velocidades iniciales de las dos masas.
7. Casos particulares
Movimiento en fase
Si inicialmente las dos masas se desplazan igual y se sueltan desde el reposo,
por ejemplo:
$$x_1(0)=A,\qquad x_2(0)=A,\qquad v_1(0)=0,\qquad v_2(0)=0,$$
entonces domina el primer modo normal. Las dos masas oscilan juntas con frecuencia:
$$\omega_1 = \sqrt{\frac{g}{L}}$$
En este caso el muelle no cambia apenas de longitud.
Movimiento relativo puro
Para excitar solo el segundo modo cuando las masas son distintas, no basta
con tomar $x_1(0)=-A$ y $x_2(0)=A$. Debe cumplirse:
$$m_1x_1(0)+m_2x_2(0)=0$$
Por ejemplo, se puede elegir:
$$x_1(0)=-\frac{m_2}{m_1+m_2}A,\qquad
x_2(0)=\frac{m_1}{m_1+m_2}A,\qquad
v_1(0)=0,\qquad v_2(0)=0$$
Entonces domina el segundo modo normal, con frecuencia:
$$\omega_2 =
\sqrt{\frac{g}{L}+k\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)}$$
En este caso el muelle se estira y se comprime alternativamente.
Caso de masas iguales
Si $m_1=m_2=m$, recuperamos las expresiones del caso simétrico:
$$\omega_1 = \sqrt{\frac{g}{L}}$$
$$\omega_2 =
\sqrt{\frac{g}{L}+\frac{2k}{m}}$$
En este caso, el segundo modo vuelve a ser el movimiento en oposición de fase
con amplitudes iguales:
$$x_1=-x_2$$
8. Batidos o pulsaciones
En general, el movimiento de cada masa es una combinación de dos oscilaciones:
una con frecuencia $\omega_1$ y otra con frecuencia $\omega_2$.
Si ambas frecuencias son parecidas, el resultado puede parecer una oscilación
cuya amplitud aumenta y disminuye lentamente. Este fenómeno se conoce como
batidos o pulsaciones.
Cuando $m_1$ y $m_2$ son distintas, los batidos pueden no repartirse de forma
simétrica entre las dos masas. La masa menor suele mostrar cambios de amplitud
más acusados, mientras que la masa mayor responde de forma más lenta.
Resumen:
- El sistema tiene dos modos normales de oscilación.
- En el primer modo, las masas se mueven en fase y el muelle apenas actúa.
- En el segundo modo, domina el movimiento relativo entre las masas y el muelle aumenta la fuerza restauradora.
- Si $m_1 \ne m_2$, las amplitudes del segundo modo no son iguales.
- La masa menor responde más intensamente a la fuerza del muelle.
- El movimiento general de cada masa es la combinación de dos movimientos armónicos simples.
-
Las frecuencias normales son:
$$\omega_1 = \sqrt{\frac{g}{L}}, \qquad
\omega_2 =
\sqrt{\frac{g}{L}+k\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)}$$
-
Si $m_1=m_2=m$, se recupera el resultado:
$$\omega_2 = \sqrt{\frac{g}{L}+\frac{2k}{m}}$$
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