Área de la gráfica v-t

Ya hemos visto cómo se puede determinar la aceleración de un móvil mediante la gráfica v-t, pero no es lo único que podemos analizar en una gráfica velocidad-tiempo.

Como vamos a ver en esta página, también podemos utilizar las gráficas v-t para determinar la distancia recorrida por el móvil.

El área comprendida entre la línea de la gráfica v-t y los ejes, representa la distancia recorrida.

Podemos ver esto con algunos ejemplos:

La gráfica de la izquierda corresponde a un móvil que se desplaza con una velocidad constante de 30 m/s. El área azul representa la distancia recorrida por el móvil entre t = 0 y t = 3 s. Se trata de un rectángulo cuya base es 3 s y cuya altura es 30 m/s.

Como el área del rectángulo = base x altura, en nuestro caso será:

Área = 3 s · 30 m/s = 90 m

Por tanto durante los tres segundos que dura el movimiento, el móvil recorre una distancia de 90 m.

En la gráfica de la derecha se representa el movimiento de aceleración negativa de un móvil que parte con velocidad inicial de 40 m/s y que se detiene a los 2 s.

Como el área del triángulo = ½ · b · h, tenemos:

Área = 0,5 · 2s · 40m/s = 40 m La distancia recorrida en dos segundos es 40 m.

El área marcada en este caso representa la distancia recorrida por el móvil entre 1s y 2,5s.

Como el área del trapecio = ½ · b · (h₁ + h₂), tenemos:

Área = 0,5 · 1,5 s ·(20 m/s + 50 m/s) = 52,5 m

En este caso, por tanto, el móvil recorre 52,5 m.

Un método alternativo para calcular el área del trapecio consiste en Descomposición de un trapecio

descomponerlo en un triángulo y un rectángulo:

Área del triángulo = ½ ·b · h = 0,5 · 1,5 s · 30 m/s = 22,5 m
Área del rectángulo = b · h = 1,5 s · 20 m/s = 30 m

Como puedes observar la suma de estas dos áreas es 52,5 m, como habíamos calculado antes.

Vamos a estudiar ahora un caso un poco más complicado.

El movimiento representado en la gráfica de la izquierda tiene velocidad positiva en el intervalo comprendido entre 0 y 2s y velocidad negativa en el segundo siguiente. Ya hemos calculado más arriba que el área del triángulo azul equivale a un desplazamiento de 40 m. Por su parte, el triángulo rojo representa un desplazamiento de:

Área = ½ · b · h = 0,5 · 1s ·(-20)m/s = -10 m

El signo negativo nos indica que la distancia ha sido recorrida en sentido contrario. Por lo tanto en este caso la distancia recorrida y el desplazamiento son diferentes:

distancia recorrida = 40 m (derecha) y 10 m (izquierda) = 50 m
desplazamiento = 40 m - 10 m = 30 m

Como habrás observado para calcular la distancia recorrida sumamos las áreas sin considerar su signo, mientras que para determinar el desplazamiento sí se consideran los correspondientes signos.

Si lo deseas, puedes visitar la página sobre la relación entre las gráficas del movimiento.

Intenta resolver los siguientes ejercicios para comprobar que lo has entendido: